Concours ENSA 2021 Mathématiques

Question 1 :

Une condition nécessaire (pas forcément suffisante) pour réussir le concours de l'ENSA est :

A) Avoir répondu correctement à tout le QCM

B) Avoir au plus 25% de réponses fausses

C) Avoir au moins 50% de réponses correctes

D) Avoir passé le concours

Question 2 :

Le 17 juillet 2021, jour du concours de l'ENSA, est un samedi. Quel jour de la semaine sera le 29 février 2024 ?

A) mardi

B) jeudi

C) samedi

D) lundi

Question 3 :

Le nombre de diviseurs de N = 72¹⁰×162⁵⁰ est :

A) 17600

B) 17680

C) 17820

D) 17901

Question 4 :

Soient x et y deux réels non nuls, inverses l'un de l'autre, tels que la somme du carré de leur somme avec la somme de leurs carrés est égale à 10. Le carré du nombre x vaut :

A) 2 − √3 ou 2 + √3

B) 1 − √5 ou 1 + √5

C) 1 − √3 ou 1 + √3

D) 2 − √5 ou 2 + √5

Question 5 :

Le produit \[ \prod_{k=0}^{9} \left( \sqrt[3.2^{k}]{5} \right)= \]

A) \[\sqrt[3]{5^{\frac{511}{256}}}\]

B) \[\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{256}}}\]

C) \[\sqrt[3]{5^{\frac{1023}{512}}}\]

D) \[\sqrt[3]{5^{\frac{511}{1024}}}\]

Question 6 :

\( \lim_{n \to +\infty} 3^n e^{-3n} = \)

A) 1

B) 0

C) \( +\infty \)

D) \( e \)

Question 7 :

En remarquant que pour tout \( n \in \mathbb{N} \), le nombre \( (3 + \sqrt{5})^n + (3 - \sqrt{5})^n \) est un entier pair, \( \lim_{n \to +\infty} \sin \left( (3 + \sqrt{5})^n \pi \right) = \)

A) 1

B) -1

C) 0

D) \( +\infty \)

Question 8 :

\( \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sqrt{3} \sin x - \cos x}{x - \frac{\pi}{6}} = \)

A) 0

B) 1

C) 2

D) \( +\infty \)

Question 9 :

\( \lim_{x \to 0^+} x^{\left( \frac{1}{\ln 3x} \right)} = \)

A) \( e \)

B) 0

C) \( \ln 3 \)

D) \( 1 + e \)

Question 10 :

Soit \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) une fonction \( T \) périodique avec \( T > 0 \), telle que \( \lim_{x \to +\infty} f(x) \) existe dans \( \mathbb{R}^* \). Alors:

A) \( f \) est strictement croissante

B) \( f \) est strictement décroissante

C) \( f \) est la fonction nulle

D) \( f \) est une constante non nulle

Question 11 :

Soit la fonction \( f \) définie par : \[ f(x) = \begin{cases} x^2 + x^3 \cos \frac{1}{x}, & \text{si } x \neq 0 \\ f(0) = 0 \end{cases} \] Soit \( f' \) la dérivée d'ordre 1 de \( f \).

A) \( f'(0) = 1 \)

B) \( f'(0) = 0 \)

C) \( f'(0) = 2 \)

D) \( f \) n'est pas dérivable en 0

Question 12 :

Pour la même fonction \( f \) de Q11, on note \( f'' \) sa dérivée d'ordre 2. Alors :

A) \( f''(0) = 0 \)

B) \( f''(0) = 1 \)

C) \( f''(0) = 2 \)

D) \( f \) n'est pas deux fois dérivable en 0

Question 13 :

L'aire de la région délimitée par la courbe d'équation \( y = \cos (\ln x) \) et les droites d'équations \( x = e^{\frac{\pi}{2}} \) et \( x = e^{\pi} \) est égale à:

A) \( \frac{1}{2} \left(e^{\pi} + e^{\frac{\pi}{2}}\right) \)

B) \( e^{\pi} - e^{\frac{\pi}{2}} \)

C) \( e^{\pi} + e^{\frac{\pi}{2}} \)

D) \( e^{\pi} \)

Question 14 :

Soit \( f:[0; a] \to \mathbb{R} \) continue telle que \( f(x) \neq -1 \) et \( f(x). f(a-x) = 1 \). \( \int_{0}^{a} \frac{1}{1+f(x)} \, dx = \)

A) \( \frac{a}{2} \)

B) \( a \)

C) \( 1 + a \)

D) \( \frac{1}{1+a} \)

Question 15 :

Soit la fonction réelle \( f(x) = e^{-x} \sin (x) \) et \( f^{(4)} \) sa dérivée d'ordre 4, alors \( f^{(4)}(x) = \)

A) -\( f(x) \)

B) -4\( f(x) \)

C) 4\( f(x) \)

D) -3\( f(x) \)

Question 16 :

Pour la même fonction \( f \) de Q15, \( \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx = \)

A) \( \frac{1}{3}(1 - e^{-\pi}) \)

B) \( \frac{1}{2}(1 + e^{-\pi}) \)

C) \( \frac{1}{4}(1 - e^{-\pi}) \)

D) \( \frac{1}{5}(1 + e^{-\pi}) \)

Question 17 :

Soit \( u \) la solution de l'équation à variable complexe : \( z \bar{z} + 4iz = -3 + 4i \). Alors:

A) \( Re(u) \times Im(u) = 2 \)

B) \( Re(u) \times Im(u) = 1 \)

C) \( Re(u) + Im(u) = 2 \)

D) \( u \) est un imaginaire pur

Question 18 :

Soient \( z_1 \) et \( z_2 \) les solutions de l'équation à variable complexe : \( z^2 - 2 \bar{z} + 3 = 0 \). \( Re\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \)

A) \( -\frac{2\sqrt{6}}{7} \)

B) \( \frac{2\sqrt{6}}{7} \)

C) \( \frac{5}{7} \)

D) \( \frac{5}{7} \)

Question 19 :

Soient \( \theta \) un nombre réel non nul et \( z \) un nombre complexe tels que : \( z = \cos^2 \theta + i \sin \theta \cos \theta \). La partie réelle du nombre \( z^{-3} \) est :

A) \( \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \)

B) \( \frac{\sin 3\theta}{\sin^3 \theta} \)

C) \( \frac{\cos 3\theta}{\cos^3 \theta} \)

D) \( \frac{\sin \theta}{\cos^3 \theta} \)

Question 20 :

Le nombre \( \cos 5\theta \) est égal à :

A) \( \cos^5 \theta + 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta \)

B) \( \cos^5 \theta + 5 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 10 \cos \theta \sin^4 \theta \)

C) \( \cos^5 \theta - 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + \cos \theta \sin^4 \theta \)

D) \( \cos^5 \theta - 10 \cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta \)

Concours d'accès en 1ère année des ENSA Maroc - Juillet 2021